Uno de los principios básicos de la física es que el trabajo
es igual al producto de la fuerza por la distancia; Si una fuerza constante F actúa
sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y
la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo
realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido.
W = F · x.
Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se
contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan
simple. Consideremos una partícula P que se desplaza sobre el eje x, desde el
punto (a, 0) al punto (b, 0) por medio de una fuerza f = F(x), x ∈
[a, b].
Dividamos el segmento [a, b] en n partes arbitrarias de
longitudes ∆x1, ∆x2, . . ., ∆xi, . . ., ∆xn, y tomemos en cada subintervalo
[xi−1, xi] un punto arbitrario ti como se muestra a continuación.
Cuando la partícula se mueve de xi−1 a xi, el trabajo
realizado es aproximadamente igual al producto F(ti)·∆xi. Luego, la suma nos
dará la expresión aproximada del trabajo de la fuerza F en todo el segmento [a,
b].
La suma representa una suma integral, por lo que, si
existe, entonces este expresa el trabajo realizado por la
fuerza f = F(x) al mover una partícula de a a b, a lo largo del eje x. Se tiene
entonces que siendo F(x) la fuerza aplicada a la partícula cuando esta se
encuentra en el punto cuya coordenada es x.
Si la unidad de
fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la
unidad de trabajo es el kilográmetro. También pueden utilizarse como unidades
de trabajo la libra-pie y el gramo-centímetro.
El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal,
nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La
ley de Hooke afirma que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal,
es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para
producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde
k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del grosor del
alambre, de la temperatura, etc.
Una fuerza de 25 kg alarga un resorte 3 cm. Determine el
trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más.
Solución
Como F = kx y x = 0, 03 m, cuando F = 25 kg, entonces k =
2500/3. El trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más (es decir, hasta
5 cm), está dado por:
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