LONGITUD DE UN SEGMENTO DE CURVA

LONGITUD DE UN SEGMENTO DE CURVA

= Longitud de arco =

¿Qué se entiende por longitud de una curva? Se podría pensar en ajustar un trozo de cuerda a la curva de la figura 1. y después medir la cuerda con una regla. Pero eso podría ser difícil de hacer con mucha exactitud si se tiene una curva complicada.

Si la curva es un polígono, se determina con facilidad su longitud: sólo se suman las longitudes de los segmentos de recta que forman el polígono o utilizar la fórmula de a distancia para hallar la distancia entre los puntos extremos de cada segmento. Se definirá la longitud de una curva general aproximándola primero mediante un polígono y luego tomando un límite cuando se incrementa el número de segmentos del polígono. Lo cual es muy parecido al círculo, donde la circunferencia es el límite de longitudes de polígonos inscritos.

 

Supongamos que tenemos una curva C que se define mediante la ecuación y = f(x), donde f es continua y a ≤ x ≤ b. Se obtiene una aproximación poligonal a C dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremos x_0, x_{1, . . . ,} x_n y de amplitud igual a Δx. Si y_i = f ( x_i ), por lo tanto el punto P_i( x_i, y_i ) _{yace en C y el polígono con vértices P0, P1, . . . , Pn,} con una aproximación a C, como muestra la figura:

Se define la longitud L de una curva C con la ecuación y = f (x), a ≤ x ≤ b, cuando el límite de las longitudes de estos polígonos inscritos (si el límite existe): 

Por tanto, la fórmula de la longitud de arco queda:

Si se usa la notación de Leibniz para derivadas, se puede escribir la fórmula de la longitud de arco así:

Ejemplo 1 Halle la longitud de arco de la parábola semicúbica y² = x³ entre los puntos (1,1) y (4,8), ilustrado así:

Para la mitad superior de la curva se tiene

Y = x^3/2               dy/dx = 3/2 x^½

 Y, por lo tanto, la fórmula de longitud de arco produce:

Si se sustituye u = 1 + 9/4x, después du = 9/4dx, cuando x = 1, u = 1, u= 13/4; cuando x = 4, u = 10.

Por lo tanto,

O en decimales la respuesta sería: 7.633705

Si una curva tiene la ecuación x = g(y), c ≤ y ≤ d y g'(y) es continua, después al intercambiar los papeles de x y y en la formula 2 o la ecuación 3, se obtiene la fórmula siguiente para su longitud:

Ejemplo 2 Encuentre la longitud del arco de la parábola y² = x de (0,0) a (1,1).

Puesto que x = y², se tiene dx/dy = 2y y la formula quedaría:

Se hace la sustitución trigonométrica y = ½ tan θ, que da dy= ½ sec² θ dθ y √1 + 4y² = √ 1 + tan²θ = sec θ. Cuando y = 0, tan θ = 0, por lo tanto θ = 0; cuando y = 1, tan θ =2, así que θ = tan^-1 2 = α, por ejemplo. Por eso,

O se puede también hacer con una de las fórmulas ya establecida de las integrales. Puesto que tan α = 2, se tiene sec² α = 1 + tan²α = 5. de modo que sec α = √ 5 y

la respuesta en decimal seria 1.478943

Y la gráfica seria la siguiente:

Debido a la presencia del signo de la raíz cuadrada en las fórmulas 2 y 4, el cálculo de una longitud de arco a menudo conduce a una integral que es muy difícil o incluso imposible de evaluar de manera explícita. Así, algunas veces se tiene que conformar con hallar una aproximación de la longitud de una curva como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

(a) Establezca una integral para la longitud del arco de la hipérbola xy = 1 del punto (1,1) al punto (2, ½).

(b) use la regla de Simpson con n = 10 para estimar la longitud de arco.

solución

(a) se tiene

Y = 1/x       dy/dx = -1/x²

Y, por lo tanto, la longitud de arco es

(b) Por medio de la regla de Simpson con a = 1, b = 2, n = 10, Δx = 0.1, y f(x) = √ 1 + 1/x⁴, se tiene

=Función de la longitud de arco=

Se encontrará útil tener una función que mida la longitud de arco de una curva de un determinado punto de partida a cualquier otro punto sobre la curva. Así, si una curva uniforme C tiene la ecuación y = f(x), a ≤ x ≤ b, sea s(x) la distancia a lo largo de C del punto inicial p₀(a,f(a)) al punto Q(x,f(x)). Después s es una función, llamada la "función longitud de arco" y, por la fórmula de la longitud de arco.

(la variable de integración se ha remplazado por t para que x no tenga dos significados), se puede usar la parte 1 del teorema fundamental del cálculo para derivar la ecuación anterior (pues el integrado es continuo).

En la ecuación anterior se muestra que la relación de cambio de s con respecto a x es siempre por lo menos 1 y es igual a 1 cuando f'(x), la pendiente de la curva, es 0. la diferencial de la longitud de arco es

Y esta ecuación se escribe a veces en la forma simétrica

Gráficamente seria:

Ejemplo 4 encuentre la función longitud de arco para la curva y = x² - 1/8 Inx tomando P₀ (1,1) como el punto de partida.

Si f(x) = x^{2 -} 1/8 In x, en tal caso

Así, la función longitud de arco está dada por

Entonces por ejemplo, la longitud de arco a lo largo de la curva de (1,1) a (3, f(3)) es

 S (3) = 3² + 1/8 In 3 – 1 = 8 + In3/8 la respuesta es 8.1373

En la figura 8 se muestra la interpretación de la función longitud de arco del ejemplo anterior. En la figura 9 se ilustra la gráfica de esta misma función de longitud de arco con el –1 y se convierte en negativa.

Referencia: James stewart. (2012 ). Calculo de una variable. Boston, Massachusetts, Estados Unidos: Cengage Learning.

Karla Michelle Lopez Saldaña