CÁLCULO DE VOLÚMENES POR MEDIO DE CASCARONES CILÍNDRICOS

CÁLCULO DE VOLÚMENES POR MEDIO DE CASCARONES CILÍNDRICOS

Consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.

¿Cómo calcular el volumen de un casquete cilíndrico?

Se debe establecer como calcular el volumen v de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior en r1 y cuyo radio exterior r2 naturalmente se procede a restar el volumen 2 del cilindro exterior.

FÓRMULA PARA EL VOLUMEN 

ROTACIÓN ALREDEDOR DE EJES VERTICALES.

-Bosqueje la región determinada

-Dibuje un segmento de recta que cruce de forma paralela al eje de la revolución

-Indique la longitud (altura del cascaron)

-Indique la distancia del eje de la revolución (radio del cascaron)

-Reemplace en la fórmula

ROTACIÓN ALREDEDOR DE EJES HORIZONTALES

-Bosqueje la región determinada

-Dibuje un segmento de la recta que cruce de forma paralela al eje de revolución

-Indique la altura del segmento, indique la distancia al eje de revolución (radio del cascaron)

-Reemplace la fórmula.

Tomaremos un punto arbitrario en la curva, el cual notaremos como (x,y) y construiremos un elemento de área desde este punto y paralelo al eje de rotación tal y como se muestra en la siguiente figura.

Ahora imaginemos que ese diferencial de área rota alrededor del eje y, de esta manera obtendremos un cilindro como el que se muestra a continuación.

A continuación, nos tenemos que preguntar cual el volumen de este cilindro o cascaron cilíndrico (de ahí el nombre método de cascarones cilíndricos), la manera más sencilla de visualizar esto es desdoblándolo.

De esta manera observamos que el volumen de un cascaron cilíndrico dV es igual al volumen de la caja correspondiente.  De esta manera obtenemos que:

 

Y al pasarlo a la forma integral obtenemos , está integral tiene que quedar totalmente en términos de y o de x, lo más sencillo en este caso es cambiar la y por la función original, en este caso esto nos quedaría.

Esta integral la podemos resolver por partes, tomando como y , de esta manera , y esta integral queda:

++

Siendo este valor nuestra respuesta.