DIFERENCIALES

El este apartado daremos a conocer el tema de diferenciales 

La notación de Leibniz dy/dx ha sido utilizada para la derivada de y respecto a x. La notación d/dx se ha utilizado como un operador para la derivada (de lo que sigue a d/dx)
respecto a x. Así, d/dx y D(sub x)x son sinónimos. Hasta ahora hemos tratado a dy/dx (o d/dx) como un solo símbolo y no hemos tratado de dar significados separados a los símbolos dy y dx. En esta sección daremos significado a dy y a dx



Sea f una función derivable. Para motivar nuestras definiciones, sea P(x0, y0) un punto en la gráfica de y = f (x) como se muestra en la figura.Ya que f es derivable

 

Asi que el cambio en x es pequeña, el cociente [f(x0 + deltax)-f(x0)]/deltax sera aproximadamente ka derivada de f(x0) de modo que

El lazo izquierdo de esta expresión se denomina dely, este es el cambio real en y cuando x cambia de x0 a 0x + deltax. El lado derecho se denomina dy y sirve como una aproximación para deltay. La cantidad dy es igual al cambio en la recta tangente a la curva P cuando x cambia de x0 a x0 + deltax. cuando deltax es pequeño, esperamos que dy será una buena aproximación para deltay, y será sóo una constante por deltax, por lo regular más fácil de calcular.

Ejemplos

Las diferenciales desempeñan varios papeles en este texto;pero por ahora su principal uso está en proporcionar aproximaciones. Suponga que y=f(x) un incremento deltax produce un correspondiente incremento deltay en y, que puede aproximarse con dy. 

 

Utilice diferenciales para aproximar el aumento en el área de una pompa de jabón cuando su radio aumenta de 3 pulgadas a 3.025 pulgadas.

Encuentre y dibuje la aproximación lineal a f(x)=1+ sen(2x) en x=pi/2