EL PROBLEMA DEL ÁREA

Dos problemas, ambos de geometría, motivan las dos ideas más importantes en cálculo. El problema de encontrar la recta tangente nos llevó a la derivada. El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida. El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida. Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), el problema de encontrar el área apenas es un problema. Comenzamos con la definición del área de un rectángulo como la conocida fórmula de largo por ancho y, a partir de esto, de manera sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono.

El área tiene que satisfacer cinco propieadades 1. El área de una región plana es un número (real) no negativo.2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas; por ejemplo, pies cuadrados o centímetros cuadrados.3. Regiones congruentes tienen áreas iguales.4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan sólo en un segmento de recta es la suma de las áreas de las dos regiones.5. Si una región está contenida en una segunda región, entonces el área de la prime ra es menor o igual que el de la segunda Cuando consideramos una región con frontera curva, el problema de asignar un área es significativamente más difícil. Sin embargo, hace más de 2000 años,Arquímedes proporcionó la clave de la solución. Considérese una sucesión de polígonos inscritos que aproximen a la región curva con una precisión cada vez mayor. Por ejemplo, para  el círculo de radio 1, considérense los polígonos regulares inscritos   con 4 lados, 8 lados, 16 lados, . . ., como se muestra en la figura.   . El área del círculo es el límite cuando n tienda a infinito  de las áreas de P. Arquímedes fue más allá, al considerar también polígonos circunscritos.  Demostró que se obtiene el mismo valor para el área del círculo de radio 1 (a la que llamó pi), si se inscriben o circunscriben polígonos. El área ahora es 1. Aproximar la región R por medio de n rectángulos, en donde los n rectángulos tomados juntos contengan a R y produzcan un polígono circunscrito, o bien, que estén contenidos en R y produzcan un polígono inscrito. 2. Determinar el área de cada rectángulo. 3. Sumar las áreas de los n rectángulos. 4. Tomar el límite cuando n tiende a infinito  Para indicar sumas de una manera compacta se usa la sumatoria

Al determinar áreas de regiones, con frecuencia necesitaremos considerar la suma de los primeros n enteros positivos, así como las sumas de sus cuadrados, cubos, etcétera  

¿Cuántas naranjas hay en la pirámide que se muestra en la figura ?