¿Qué es?
Desde un
punto de vista histórico, la integral definida esta sumamente relacionada con
el cálculo de áreas.
Una
definición desarrollada de lo que es una integral definida es la siguiente:
 |
| Área bajo la curva de f, entre a y b |
Comenzaremos analizando el problema de calcular el área
determinada por el eje de abscisas, las rectas x = a, x = b y la gráfica de la
función f(x), que supondremos en un primer caso continua y positiva en el
intervalo [a, b]: La idea que utilizaremos es partir el intervalo [a, b] en
varios subintervalos: [a, x1], [x1, x2], . . .
[xn−1, b], de manera que el área que buscamos será la suma de las
áreas de cada una de las figuras planas que resultan de dicha división. Tomemos
ahora en cada sub-intervalo un valor arbitrario de la abscisa: {ξ1,
. . ., ξn}, y construyamos el rectángulo de altura f(ξ)
correspondiente a cada uno de los subintervalos Podemos así aproximar el valor
del área buscada por la suma:
A ≈ f(ξ1)
(x1 − a) + f(ξ2) (x2 − x1) + . . .
+ f(ξn) (b − xn−1)
 |
| Construcción de Sumas de Riemann |
Evidentemente esta aproximación será tanto mejor cuanto más
subintervalos se introduzcan, y en particular si el número de ellos tiende a
infinito (y la anchura de todos y cada uno de ellos tiende a cero) entonces en
dicho límite el resultado será exacto y nos proporcionará el área buscada.
Este es
el principio bajo el que funcionan las sumas de Riemann.
¿Cómo se resuelven?
Con el siguiente ejemplo mostraremos una demostración de como se
resuelven las integrales definidas
Calculemos
las integrales:
En el primer caso las sumas de Riemann serán de la siguiente
forma:
Independientemente de la partición tomada y de la elección de
puntos realizada. La integral por tanto es:
que
obviamente coincide con el área del rectángulo de base b − a y altura 1.
Para
calcular la segunda integral podemos proceder de varias formas. En primer lugar
es evidente que el resultado de la integral va a ser el área del trapecio, y
sabemos que el área de un trapecio es igual al producto de la altura (b − a)
por la suma de las bases dividida por dos 1 /2 (a + b), es decir:
Demostraremos
no obstante este resultado aplicando directamente la definición de integral
definida. Dado que la función f(s) = x es continua, será integrable en [a, b].
Las sumas de Riemann correspondientes a una partición cualquiera P = {x0,
x1, . . . , xn}, con a = x0 < x1 < . . . < xn =
b será:
Siendo ξ = {ξ1, . . . , ξn}
una elección cualquiera de puntos en los subintervalos de la partición P. Dado
que f(x) es creciente siempre, las sumas superiores e inferiores de Riemann se
obtienen eligiendo ξi = xi y ξi = xi−1 respectivamente:
Observamos entonces que sea cual sea la partición P la suma de
U(f, P) y L(f, P) es:
Si tomamos
ahora el límite de Riemann, teniendo en cuenta que f(x) es integrable, resulta
que tanto U(f, P) como L(f, P) tienden a la integral definida y por tanto:
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